Funktoren zwischen Kategorien von Vektorräumen

Abstract

This work examines the structure of functors between categories of finite-dimensional vector spaces over fields. D.B.A. Epstein initially studied these functors under the assumption of rationality or continuity and was able to describe their structure in large part. Later, he and M. Kneser developed a comprehensive structural theory for these functors for fields of characteristic zero. The present work focuses on Epstein’s earlier, conceptually richer approach, which offers deeper insights into the mathematics of these functors. The central result states: Every rational or continuous functor between categories of finite-dimensional vector spaces over fields of characteristic zero decomposes into irreducible summands. Each of these irreducible summands can be completely described by a primitive idempotent in the group algebra QS(n) (of the symmetric group Sn over the field of rational numbers Q) — thus corresponding to a classical object in the representation theory of the symmetric group.

Die Arbeit untersucht die Struktur von Funktoren zwischen Kategorien endlichdimensionaler Vektorräume über Körpern. D.B.A. Epstein analysierte diese Funktoren zunächst unter der Annahme von Rationalität oder Stetigkeit und konnte dabei ihre Struktur weitgehend klären. Später stellte er zusammen mit M. Kneser eine umfassende Strukturtheorie der Funktoren für Körper der Charakteristik Null auf. Die vorliegende Arbeit konzentriert sich auf Epsteins frühere, konzeptionell reichere Darstellung, die tiefere Einsichten in die Mathematik dieser Funktoren liefert. Das zentrale Ergebnis lautet: Jeder rationale oder stetige Funktor zwischen Kategorien endlichdimensionaler Vektorräume über Körpern der Charakteristik Null zerfällt in irreduzible Summanden. Jeder dieser irreduziblen Summanden lässt sich vollständig durch ein primitives Idempotent in der Gruppenalgebra QS(n) (der symmetrischen Gruppe Sn über dem rationalen Zahlenkörper Q beschreiben – also durch ein klassisches Objekt der Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe.