The Single-Boson Exchange Formalism and its Application to the Functional Renormalization Group

Abstract

Die kürzlich eingeführte "single-boson exhange" (SBE) Zerlegung des Zwei-Teilchen-Vertex klassifiziert Diagramme in Bezug auf Ein- und Multiboson-Austauschprozesse in den verschiedenen Kanälen. Die SBE ermöglicht eine physikalisch intuitive sowie rechnerisch effiziente Beschreibung der relevanten Fluktuationen in Quantenvielteilchensystemen. Insbesondere ergibt sich daraus auch ein Entwicklungsfeld für neue Näherungsansätze, die über derzeitige Einschränkungen hinausgehen. Hier wenden wir die SBE auf die funktionale Renormierungsgruppe (fRG) an. In der SBE Formulierung kann die effektive bosonische Wechselwirkung durch bosonische Propagatoren und Fermion-Boson Kopplungen dargestellt werden, die aus der Vertex-Asymptotik bestimmt werden, während sich die Multiboson-Prozesse als irrelevant erweisen. Letztere werden nur in der Nähe der pseudokritischen Temperatur wichtig, die in der 1-loop Näherung auftritt. Da nur die Multiboson-Prozesse von drei unabhängigen Frequenz- und Impulsvariablen abhängen, wird durch ihre Vernachlässigung der Rechenaufwand im Vergleich zu einer rein fermionischen fRG drastisch reduziert. Auf der methodischen Seite verallgemeinern wir die SBE-Zerlegung auf die Behandlung nichtlokaler Wechselwirkungen und etablieren ein numerisch praktikables fRG-basiertes Berechnungsschema. Dazu gehört die Herleitung des Selbstenergieflusses über die Schwinger-Dyson-Gleichung, die für die theoretische Beschreibung des Pseudogaps entscheidend ist, sowie der sogenannten Multiloop-Erweiterung der fRG. Für diese präsentieren wir auch eine alternative Formulierung, die nicht auf der Entwicklung in loop-Ordnungen beruht. Zudem bestimmen wir die Effekte, die durch die Nächst-Nachbar-Wechselwirkung induziert werden, und erforschen die Physik, die sich aus dem Zusammenspiel zwischen lokalen und nicht-lokalen Freiheitsgraden ergibt. Wir untersuchen das zweidimensionale Hubbard Modell mit einer lokalen Coulomb-Wechselwirkung über einen breiten Füllungsbereich. Wir berechnen die magnetischen, dichte- und supraleitenden Suszeptibilitäten bei schwacher Kopplung und präsentieren eine detaillierte Analyse ihrer Abhängigkeit von Temperatur, Wechselwirkungsstärke und loop-Ordnung. Zusammenfassend bietet die SBE eine größere algorithmische Flexibilität, die zu höherer Genauigkeit bei geringerem numerischen Aufwand führt und damit den Zugang zu neuen Parameterregimes ermöglicht. Gleichzeitig vermittelt sie ein besseres physikalisches Verständnis der relevanten Prozesse. Zukünftige Entwicklungen umfassen Multiboson-Erweiterungen von fRG-basierten Algorithmen.

The recently introduced single-boson exchange (SBE) decomposition of the two-particle vertex classi- fies diagrams in terms of single- and multiboson exchange processes in the different channels. Providing a physically intuitive and also computationally efficient description of the relevant fluctuations, the SBE allows for the development of new approximation schemes that overcome the limitations of current im- plementations. Here we apply the SBE to the functional renormalization group (fRG). In this formulation, the effective bosonic interaction can be represented by bosonic propagators and fermion-boson couplings determined from the vertex asymptotics, while the multiboson processes are shown to be irrelevant. They become important only in the vicinity of the pseudo-critical transition observed in the one-loop approximation. Since only these depend on three independent frequency and momentum variables, neglecting them drastically reduces the computational complexity of the problem compared to the purely fermionic one- loop fRG. On the methodological side, we generalise the SBE decomposition to the treatment of non-local in- teractions, providing a numerically feasible fRG-based computation scheme. This includes the derivation of the self-energy flow based on the Schwinger-Dyson equation which is crucial to capture the pseudogap opening and the multiloop extension that allows to recover the parquet approximation. For the latter, we also provide an alternative formulation that does not resort to the expansion in loop orders. We determine the effects induced by the presence of a nearest-neighbour interaction and explore the physics arising from the interplay between local and non-local degrees of freedom. Finally, we investigate the two-dimensional Hubbard model with a local Coulomb interaction for a wide range of dopings. For this analysis we compute the magnetic, density, and superconducting, susceptibilities at weak coupling and present a detailed analysis of their evolution with temperature, interaction strength, and loop order. The SBE provides greater algorithmic flexibility, leading to higher accuracy at lower cost, as well as better physical understanding of relevant processes and thereby paves access to new parameter regimes. Future developments include multiboson extensions of fRG-based algorithms.