Inhaltszusammenfassung:
Die vorliegende Dissertation ist dem strukturellen und enumerativen Studium tropischer
Kurven und Überlagerungen gewidmet. Die Analyse erfolgt anhand zweier spezifischer
Forschungsfragen: Tropische spaltende Jacobische und tropische spin Hurwitzzahlen mit
abgeschlossenen Zykeln.
In Teil 1 geht es umdasZusammenspielvontropischenKurvenundtropischen abelschen
Varietäten. Wir untersuchen strukturelle Aspekte tropischer spaltender Jacobischer von Kur
ven vom Geschlecht 2, und zwar sowohl auf globaler wie auch auf atomarer Ebene. Global
erreichen wir ihre Charakterisierung in der Kategorie tropischer Kurven TC (durch Über
lagerungen) und in der Kategorie tropischer abelscher Varietäten TA (als Quotient eines
direktes Produkt von zwei elliptischen Kurven). Atomar identifizieren wir ihre Bausteine,
ein Paar von Geschlecht 1 Kurven zusammen mit einer gewissen Untergruppe ihres direkten
Produkts, und rekonstruieren daraus die Charakterisierungen in TA und TC. Wir nutzen
die atomare Perspektive, um unser Verständnis von spaltenden Jacobischen weiter zu kon
densieren und gehen zu ihrer Betrachtung im Modulraum tropischer Kurven bzw. prinzipiell
polarisierter tropischer abelscher Varietäten über. Hier untersuchen wir eine Variante des
tropischen Schottky Problems für spaltende Jacobische bzw. dessen Umkehrung. Wann
immer möglich, nutzen wir tropische Geometrie, um abstrakte Charakterisierungen durch
konkrete Algorithmen zu untermauern.
In Teil 2 geht es um das Zusammenspiel von tropischer Geometrie mit anderen Diszi
plinen. Wir nutzen diese Interaktion (im Rahmen der enumerativen Geometrie) zur Unter
suchung einer geometrisch motivierten Zahl aus, der Spin Hurwitzzahlmit abgeschlossenen
Zykeln. Dazu führen wir eine tropische Zählung von verzweigten Überlagerungen ein,
welche mit der ursprünglichen Zahl übereinstimmt, und verwenden schließlich Methoden
der tropischen Geometrie, um strukturelle Eigenschaften dieser Zahl (Polynomialität und
Wanddurchquerungsformeln) zu untersuchen.
