Zsigmondy-Elemente in endlichen Gruppen vom Lie-Typ

Abstract

Sei G(q) eine ueber dem Koerper mit q Elementen definierte endliche Gruppe vom Lie-Typ und V der Standard-Modul fuer G(q). Der Begriff des Zsigmondy-Elements wurde von B. Merkt in seiner Dissertation eingefuehrt und in der vorliegenden Arbeit auf alle endlichen Gruppen vom Lie-Typ verallgemeinert. Die Zsigmondy-Zahl von G(q) bezeichnet die Dimension eines Unterraumes von V maximaler Dimension, auf dem ein Element von G(q) von Primzahlordnung irreduzibel wirkt. Wegen des Satzes von Zsigmondy laesst sich die Zsigmondy-Zahl m direkt aus der Ordnung von G(q) ableiten. Fuer die ungetwisteten Gruppen faellt sie mit der Coxeter-Zahl der assoziierten Weyl-Gruppe zusammen. Ein Zsigmondy-Element ist definiert als ein Element g von G(q), so dass eine Potenz von g ein Element von Primzahlordnung ist, das irreduzibel auf einem Unterraum von V der Dimension m wirkt. B. Merkt verallgemeinerte in seiner Dissertation ein Resultat von Ch. Hering ueber lineare Gruppen und bewies einen Struktursatz fuer alle endlichen klassischen Gruppen, die ein Zsigmondy-Element enthalten. In einem ersten Schritt verallgemeinern wir dieses Resultat auf Gruppen vom Ausnahme-Typ D_4 (getwistet), G_2, F_4, E_6, E_6 (getwistet) und E_7. Es zeigt sich, dass eine solche Gruppe stets hoechstens einen nicht-aufloesbaren Kompositionsfaktor hat und dann mit wenigen Ausnahmen einen quasieinfachen Normalteiler besitzt. Alle Ausnahmen werden bestimmt und genau beschrieben. Anschliessend nehmen wir diesen Struktursatz als Ausgangspunkt fuer eine Klassifikation aller Untergruppen der Gruppen von einem Ausnahme-Typ, die ein Zsigmondy-Element enthalten. Die Klassifikation ist vollstaendig bis auf wenige Faelle, deren Existenz offen bleibt. Alle diese Faelle sind im Wesentlichen kleine Gruppen vom Lie-Typ in einer von p verschiedenen Charakteristik, und stets ist dabei die Ordnung des Zsigmondy-Elements so klein wie moeglich, d.h.m+1.

Let G(q) be a finite group of Lie type defined over the field with q elements and V the standard module for G(q). The concept of Zsigmondy elements has been introduced by B. Merkt in his thesis and generalized in the present thesis to all finite groups of Lie type. The Zsigmondy number of G(q) is the dimension of a subspace of V of maximal dimension on which an element of G(q) of prime order acts irreducibly. Due to Zsigmondy's theorem, the Zsigmondy number m can easily be deduced from the order of G(q). In all untwisted groups it coincides with the Coxeter number of the associated Weyl group. A Zsigmondy element is defined to be an element g of G(q) such that a power of g is an element of prime order acting irreducibly on a subspace of V of dimension m. In his thesis, B. Merkt generalized a result of Ch. Hering about linear groups and proved a structure theorem for all subgroups of finite classical groups that contain a Zsigmondy element g. In a first step, we generalize this result to the groups of exceptional type D_4 (twisted), G_2, F_4, E_6, E_6 (twisted) and E_7. In all cases we find that such a group has at most one non-solvable composition factor and with a few exceptions contains a quasi-simple normal subgroup, if it is non-solvable. All exceptions are determined and described in detail. We then use the structure theorem as a starting point to a classification of all subgroups of the groups of exceptional type containing a Zsigmondy element. The classification is complete with the exception of a few cases, the excistence of which is left open. All these cases are essentially small groups of Lie type in a characteristic different from p, and in all these cases the order of the Zsigmondy element is as small as possible, that is m+1.