Real Algebraic Varieties with Trivial Canonical Class and Toric Geometry

Abstract

Der Leitgedanke der Arbeit besteht darin, die Topologie von 3-dimensionalen reellen Calabi-Yau-Varietäten zu untersuchen. Ausgangspunkt ist dabei eine Mehtode von V. Batyrev, Calabi-Yau-Varietäten als Hyperflächen in torischen Gorenstein-Fano-Varietäten zu realisieren. Diese sind jeweils einem reflexiven Polytop zugeordnet. Die topologische Realsierung erfolgt mittels einer Methode von O. Viro, bei der zusätzlich noch eine kohärente Gittertriangulierung des Polytops und Vorzeichen auf den Ecken der Triangulierung gewählt werden. Auflösungen der Hyperflächen werden durch eine Triangulierung des dualen Polytops beschrieben. Lokal sind diese isomorph zu torischen Varietäten. Wir untersuchen sowohl im globalen (kompakten) als auch im lokalen (nicht-kompakten) Fall die Abhängigkeit topologischer Eigenschaften wie Euler-Zahl, Betti-Zahlen etc. von den kombinatorischen Ausgangsdaten. Dabei implementieren wir u.a. ein Computerprogramm, das die Homologiegruppen von Viro-Hyperflächen berechnet. Die Arbeit umfasst somit algebraisch-geometrische, topologische, kombinatorische und algorithmische Aspekte.

The principal idea of this work is to investigate the topology of 3-dimensional real Calabi-Yau varieties. The starting point is a method of V. Batyrev, which realizes Calabi-Yau varieties as hypersurfaces in toric Gorenstein Fano varieties. These are each associated with a reflexive polytope. The topological realization is done by using a method of O. Viro, by choosing additionally a coherent lattice triangulation of the polytope and signs on the vertices of the triangulation. Desingularizations are described by means of a triangulation of the dual polytope. Locally, these are isomorphic to toric varieties. We investigate topological properties as the Euler characteristic, Betti numbers etc. as well in the global (compact) case as in the local (non-compact) case. For this purpose, among others, we implement a computer program which calculates the homology groups of Viro hypersurfaces. This work hence comprises algebro-geometric, topological, combinatorial and computational aspects.